Cohete propulsado por agua

Se continua en esta página, el estudio de un recipiente cerrado lleno parcialmente de agua que contiene aire en su interior a una presión elevada. Cuando se abre el orificio en la parte inferior del recipiente, el agua expulsada ejerce una fuerza sobre el recipiente similar al empuje que experimenta un cohete al expulsar el combustible quemado por sus toberas.
El análisis del sistema físico tiene las siguientes partes:

• Llenado de aire del recipiente mediante una bomba de bicicleta o similar
• Apertura del orificio en la parte inferior del recipiente y expulsión del agua, que ya hemos estudiado en la página anterior.
• Empuje que experimenta el recipiente al expulsar el agua
• Ecuaciones del movimiento.

Datos del cohete

El cohete consta de un recipiente de forma cilíndrica de 10 cm de radio y 50 cm de altura.
El radio del orificio situado en la parte inferior se puede modificar entre 1/2 y 1/10 del radio del recipiente. Por ejemplo, al elegir ¼, el radio del orificio es 10/4=2.5 cm
Otro dato es la proporción de agua en el recipiente. Por ejemplo, una proporción del 70% equivale a una altura de agua de 0.7·50=35 cm.
El cohete puede transportar una carga que es la suma de la carga útil más la masa de las paredes del recipiente.

Se introduce aire comprimido en el cohete con una bomba de volumen V_b= 5 litros.

Llenado de aire 

Antes de accionar la bomba tenemos n₀ moles de aire en el recipiente a la presión atmosférica y a la temperatura ambiente T.
p_at·S₁(H-h₀)=n₀RT
Cada vez que accionamos la bomba de volumen V_b, introducimos en el recipiente n moles de aire a la misma temperatura T.
p_at·V_b=nRT
Si accionamos la bomba N veces, tendremos que la presión p₀ del aire contenido en en el recipiente es
p₀·S₁(H-h₀)=(n₀+n·N)·RT
El manómetro marcará una presión final p₀ dada por la fórmula

Ejemplo:
Supongamos que el tanto por ciento de agua en el recipiente es del 70%, la altura inicial de agua es h₀=0.7·H=0.7·50=35 cm.
Sabiendo que el volumen de la bomba V_b= 5 litros, y el recipiente tiene un radio r₁=10 cm. Si accionamos la bomba N=4 veces, la presión del aire en el recipiente cerrado será de p₀=5.24 atm que es lo que marca el manómetro.

Empuje que experimenta el cohete

El recipiente experimenta un empuje que es el producto de la velocidad de salida del agua v_e (medida en el sistema de referencia del cohete) por la masa de agua expulsada en la unidad de tiempo dM/dt. La velocidad de salida del agua es v₂, y el volumen de agua expulsada en la unidad de tiempo (gasto) es S₂·v₂.

Como hemos visto en la página anterior el las ecuaciones que describen este sistema son:

1. La ecuación de Bernoulli,
 
2. La ecuación de continuidad,
S₁·v₁=S₂·v₂  
3. Expansión isotérmica del gas

p₀·S₁(H-h₀)=p₁·S₁(H-h)

que nos permiten obtener la expresión de v₁ ó v₂ en función de la altura h de agua en el recipiente.

Aproximación

Si suponemos que la presión debida a la velocidad v₁ en la interfase agua-aire y la presión debida a la altura h del agua son pequeñas comparadas con la presión p₁=p del aire en el interior del recipiente, la ecuación de Bernoulli se escribe

Expresamos de forma simple, el empuje E en función de la presión p.
E=2(p-p_at)S₂

Variación de la altura del agua en el recipiente con el tiempo

A partir de la ecuación de continuidad, obtenemos la variación de la altura h del agua en recipiente en función del tiempo t.

Ecuaciones del movimiento

El movimiento del cohete se divide en dos etapas

1. Mientras sale agua por el orificio

La masa del recipiente no es constante, sino disminuye con el tiempo. La masa del recipiente es la suma de la carga útil, de la masa de las paredes del recipiente y del agua que contiene en el instante t.
m=m_u+r S₁·h

 

La ecuación del movimiento vertical de un cohete, es la de una partícula de masa m bajo la acción de dos fuerzas el empuje y el peso.
ma=E-mg
En forma de ecuación diferencial

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultáneas:

• Una ecuación diferencial de primer orden, que nos calcula la variación de h con el tiempo.
• La ecuación del movimiento. El empuje E y la masa m del cohete son funciones de h (altura de agua en el recipiente).

En el programa interactivo, se ha resuelto el sistema de dos ecuaciones diferenciales por el método de Runge-Kutta, sin realizar ninguna aproximación. Lo que nos permite incluso examinar el caso de que la presión del aire en el interior del recipiente no sea suficiente para expulsar toda el agua del mismo, y se alcance una altura del fluido en equilibrio tal como vimos en la página anterior.

2. Cuando se ha agotado el agua

Una vez que se ha agotado el agua del depósito, el aire en el interior del depósito tiene una presión p mayor que la presión atmosférica, pero supondremos despreciable el impulso adicional proporcionado por la salida del aire por el orificio inferior hasta que se igualan las presiones en el interior y exterior del recipiente. Sobre el cohete actúa solamente el peso, por lo que el movimiento es uniformemente acelerado

a=-g v=v0-g(t-t0) x=x0+v0(t-t0)-g(t-t0)2/2donde x0, y v0 son la posición y la velocidad del móvil en el instante t0 en el que se ha agotado el combustible, en este caso, agua.

El rozamiento del aire

Al moverse un cuerpo en el aire con velocidad v, experimenta una fuerza de rozamiento, que es proporcional al cuadrado de la velocidad
Esta fuerza de rozamiento no es importante durante la fase de lanzamiento que dura poco tiempo y durante la cual la fuerza de empuje es la que predomina, pero puede ser importante en la fase de vuelo libre desde que se agota el combustible hasta que alcanza la máxima altura.
La fuerza de rozamiento no se ha tenido en cuenta en la simulación del cohete propulsado por agua.